Définition

\(\triangleright\) Définition d'un état lié

En mécanique quantique, on dit que l'état est lié lorsque l'énergie du système est inférieure aux valeurs asymptotique du potentiel.

Exemple

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Exo-Démo+
On cherche à résoudre:
$$\hat H\ket\Psi=E\ket\Psi$$
Soit un particule de masse \(m\) soumis à un potentiel \(V(x)\):
$$V(x)=\begin{cases}0\quad -\frac a2\leq x\leq \frac a2\\ \infty\quad \text{sinon}\end{cases}$$
Le potentiel est pair, ce qui implique que \(\hat H\) est pair.
Si \(\hat H\) est pair alors \([\hat H,\hat \Pi]=0\)
2: Par conséquent, les fonctions propres de \(\hat H\) sont paires ou impaires
3: Dans les régions au potentiel infini, la probabilité de présence est nul. Dans le cas contraire, la particule pourrait avoir une énergie infinie.
$$\Psi(x)=0 \quad |x|\gt \frac a2$$
4: Dans la région à potentiel nul:
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\Psi(x)=E\Psi(x)$$
$$\left(\frac{d^2}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}\right)\Psi(x)=0$$
Avec \(E\gt 0\), on pose: \(k^2=\frac{2m}{\hbar^2}E\)
On a: $$\frac{d^2}{dx^2}\Psi(x)=-k^2\Psi(x)$$
5: Or, on a dit que les fonctions propres de \(\hat H\) étaient soit impaires, soit paires.
Alors, on a deux possibilités:

• \(\Psi(x)=A\cos(kx)\) (paires)
• \(\Psi(x)=B\sin(kx)\) (impaires)

6: Condition de continuité:
Discontinuité infinie implique que seule la fonction est continue aux bords du potentiel \(\Psi(\frac a2)=0\)

• cas pair: \(k\frac a2=(2n+1)\frac \pi2\implies k_n=\frac{2n+1}{a}\pi\)

\(k_p=p\frac \pi a\) avec \(p\) impair

• cas impair \(k_n=n\frac {2\pi} a\)

\(k_p=p\frac \pi a\) avec \(p\) pair
Alors, les valeurs possibles de \(k\) sont: \(k_p=p\frac{\pi}{a}\quad; p\in\Bbb N^*\)
7: De plus: \(k^2=\frac{2m}{\hbar^2}E\)
$$E_p=\frac{\hbar^2\pi^2}{2mn^2}p^2\quad p\in \Bbb N^*$$
On a bien un quantification des énergies possibles de la particule.
END